Lucky Permutation

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    给定整数 $n$ 和一个 $1\sim n$ 的排列 $p$。

    你可以对排列 $p$ 进行下列操作任意次：

    • 选择整数 $i,j(1\leq i<j\leq n)$，然后交换 $p_i,p_j$ 的值。

    你需要求出至少需要进行上述操作多少次才能使 $p$ 恰有一个逆序对。

    每个测试点包含 $t$ 组数据。

    输入格式

    第一行输入一个整数 $t(1\leq t\leq10^4)$ 表示数据组数，接下来对于每组数据：

    第一行输入一个整数 $n(2\leq n,\sum n\leq2\times10^5)$。

    接下来输入一行 $n$ 个整数 $p_1,p_2,\cdots,p_n(1\leq p_i\leq n)$，保证 $p$ 是一个 $1\sim n$ 的排列。

    输出格式

    对于每组数据：

    输出一行一个整数表示使 $p$ 恰有一个逆序对所需的最小操作次数。

    可以证明一定存在操作方案使得 $p$ 恰有一个逆序对。

Lucky Permutation

Created by LXC on Sun Apr 7 19:39:02 2024

https://codeforces.com/problemset/problem/1768/D

ranting: 1800

tag: constructive algorithms, dfs and similar, graphs, greedy

problem

给定整数 $n$ 和一个 $1\sim n$ 的排列 $p$。
你可以对排列 $p$ 进行下列操作任意次：

  • 选择整数 $i,j(1\leq i<j\leq n)$，然后交换 $p_i,p_j$ 的值。

你需要求出至少需要进行上述操作多少次才能使 $p$ 恰有一个逆序对。
每个测试点包含 $t$ 组数据。

输入格式

第一行输入一个整数 $t(1\leq t\leq10^4)$ 表示数据组数，接下来对于每组数据：
第一行输入一个整数 $n(2\leq n,\sum n\leq2\times10^5)$。
接下来输入一行 $n$ 个整数 $p_1,p_2,\cdots,p_n(1\leq p_i\leq n)$，保证 $p$ 是一个 $1\sim n$ 的排列。

输出格式

对于每组数据：
输出一行一个整数表示使 $p$ 恰有一个逆序对所需的最小操作次数。
可以证明一定存在操作方案使得 $p$ 恰有一个逆序对。

solution

建图找环，对于任意位置i，我们向$p_i$位置指向一条有向边。

那么一个环内各个数都不在原本位置上，现在让他们全部回到原来位置上，只需要环上点的个数-1次交换操作。

如果我们把所有元素归位了那么就是没有逆序对了

现在需要让排列恰好有一个逆序对，这个逆序对，实际上是一个升序排列中某相邻元素交换了位置。

如果之前的环存在有相邻元素，那么实际上，这一步可以省去，否则我们最后还需要交换一步。

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#include <bits/stdc++.h>
// #define SINGLE_INPUT
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define N 500005
#define MOD 998244353
using namespace std;

random_device seed;
ranlux48 engine(seed());
int random(int l, int r) {
    uniform_int_distribution<> distrib(l, r);
    return distrib(engine);
}
template<class t,class u> ostream& operator<<(ostream& os,const pair<t,u>& p) {
    return os<<'['<<p.first<<", "<<p.second<<']';
}
template<class t> ostream& operator<<(ostream& os,const vector<t>& v) {
    os<<'['; int s = 1;
    for(auto e:v) { if (s) s = 0; else os << ", "; os << e; }
    return os<<']';
}
template<class t,class u> ostream& operator<<(ostream& os,const map<t,u>& mp){
    os<<'{'; int s = 1;
    for(auto [x,y]:mp) { if (s) s = 0; else os << ", "; os<<x<<": "<<y; }
    return os<<'}';
}

void sol() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n), vis(n);
    for (int& i:a) cin >> i, --i;
    int add = 1, ans = 0;
    for (int i=0, id=1; i<n; i++) {
        if (vis[i]) continue;
        int j = i;
        vis[j] = id;
        while (vis[a[j]] == 0) {
            ans++;
            vis[j = a[j]] = id;
            if(add &&  (j>0 && vis[j] == vis[j-1] || j+1<n && vis[j] == vis[j+1])) {
                add = 0;
                ans--;
            }
        }
        id++;
    }
    cout << ans+add << "\n";
}

int main() {
    cout << setprecision(15) << fixed;
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
#ifndef SINGLE_INPUT
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        sol();
    }
#else
    sol();
#endif
    return 0;
}