黑板异或游戏

题目

810. 黑板异或游戏

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黑板上写着一个非负整数数组 nums[i] 。

Alice 和 Bob 轮流从黑板上擦掉一个数字，Alice 先手。如果擦除一个数字后，剩余的所有数字按位异或运算得出的结果等于 0 的话，当前玩家游戏失败。 另外，如果只剩一个数字，按位异或运算得到它本身；如果无数字剩余，按位异或运算结果为 0。

并且，轮到某个玩家时，如果当前黑板上所有数字按位异或运算结果等于 0 ，这个玩家获胜。

假设两个玩家每步都使用最优解，当且仅当 Alice 获胜时返回 true。

示例 1：

输入: nums = [1,1,2]
输出: false
解释: 
Alice 有两个选择: 擦掉数字 1 或 2。
如果擦掉 1, 数组变成 [1, 2]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 2 = 3。那么 Bob 可以擦掉任意数字，因为 Alice 会成为擦掉最后一个数字的人，她总是会输。
如果 Alice 擦掉 2，那么数组变成[1, 1]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 1 = 0。Alice 仍然会输掉游戏。

示例 2:

输入: nums = [0,1]
输出: true

示例 3:

输入: nums = [1,2,3]
输出: true

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] < 2^16

题解

方法一：

思路

每个人在选择时面临剩余数字个数奇偶性是不变的。

令S=nums[0]^nums[1]^...^nums[n-1]

当n为偶数时。

• S=0，Alice直接赢。
• S!=0，在n个数中存在一个数擦除后剩余数异或运算为非零，Alice不会输，且每次Alice选择时都是面临着偶数个数。Alice必赢。

当n为奇数数时。

• S=0，Alice直接赢。
• S!=0，当Alice擦除后若剩余异或和为0，则输，所以只能尽可能擦除后剩余数异或和不为0，所以Bob面临偶数个数且异或和不为0，所以Bob一定不会输，Alice必输。

n为偶数S!=0时，为什么在n个数中存在一个数擦除后剩余数异或运算为非零？

设Si=S^num[i] 即Si为去掉第i个数剩余数的异或运算结果。

显然Si有n个，若Si恒为0，则有S0^S1^...^S(n-1)=0

即

(S^num[0])^(S^num[1])^...^(S^num[n-1])=0

(S^S^...^S)^(num[0]^num[1]^...^num[n-1])=0

0^S=S=0

显然与条件S!=0相悖。

所以n为偶数Alice必赢，奇数必输(除了全0之外)

代码

class Solution {
public:
    bool xorGame(vector<int>& nums) {
        int s = 0;
        for (int i:nums) s ^= i;
        if (s == 0) return true;
        return nums.size() % 2 == 0;

    }
};