最小化曼哈顿距离

题目

最小化曼哈顿距离

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给你一个下标从 0 开始的数组 points ，它表示二维平面上一些点的整数坐标，其中 points[i] = [xi, yi] 。

两点之间的距离定义为它们的曼哈顿距离。

请你恰好移除一个点，返回移除后任意两点之间的 最大 距离可能的 最小 值。

示例 1：

**输入：** points = [[3,10],[5,15],[10,2],[4,4]]
**输出：** 12
**解释：** 移除每个点后的最大距离如下所示：
- 移除第 0 个点后，最大距离在点 (5, 15) 和 (10, 2) 之间，为 |5 - 10| + |15 - 2| = 18 。
- 移除第 1 个点后，最大距离在点 (3, 10) 和 (10, 2) 之间，为 |3 - 10| + |10 - 2| = 15 。
- 移除第 2 个点后，最大距离在点 (5, 15) 和 (4, 4) 之间，为 |5 - 4| + |15 - 4| = 12 。
- 移除第 3 个点后，最大距离在点 (5, 15) 和 (10, 2) 之间的，为 |5 - 10| + |15 - 2| = 18 。
在恰好移除一个点后，任意两点之间的最大距离可能的最小值是 12 。

示例 2：

**输入：** points = [[1,1],[1,1],[1,1]]
**输出：** 0
**解释：** 移除任一点后，任意两点之间的最大距离都是 0 。

提示：

• 3 <= points.length <= 105
• points[i].length == 2
• 1 <= points[i][0], points[i][1] <= 108

题解

方法一:

思路

对于点(x_1,y_1)到(x_2,y_2)的曼哈顿距离$|x_1-x_2|+|y_1-y_2| \Rightarrow max(x_1-x_2+y_1-y_2, x_2-x_1+y_1-y_2, x_1-x_2+y_2-y_1, x_2-x_1-y_2-y_1)$
令$X_i=x_i-y_i, Y_i=x_i+y_i$, 得到$max(Y_1-Y_2, X_2-X_1, X_1-X_2, Y_2-Y_1) \Rightarrow max(|Y_2-Y_1|, |X_2-X_1|)$

那么对于平面上n个点，点对的最大曼哈顿距离，可按照$x_i-y_i$升序排序得到点对序列$(x’,y’)$，再按照$x_i+y_i$升序排序得到点对序列$(x’’,y’’)$,$max(|x_n’-x_1’|+|y_n’-y_1’|, |x_n’’-x_1’’|+|y_n’’-y_1’’|)$便是最大曼哈顿距离。

注意由于至少有三个点，那么如果我们删除的点不属于最大曼哈顿距离的点对。距离不会变化。

我们要删除点，也只会在$(x_1’, y_1’), (x_1’’, y_1’’), (x_n’, y_n’), (x_n’’, y_n’’)$四个点中删除，注意是删除排序前的序列中的点。每删除一个都重新排序获取最大曼哈顿距离。

代码

template<class t,class u> ostream& operator<<(ostream& os,const pair<t,u>& p) {
    return os<<'['<<p[0]<<", "<<p[1]<<']';
}
template<class t> ostream& operator<<(ostream& os,const vector<t>& v) {
    os<<'['; int s = 1;
    for(auto e:v) { if (s) s = 0; else os << ", "; os << e; }
    return os<<']';
}
template<class t,class u> ostream& operator<<(ostream& os,const map<t,u>& mp){
    os<<'{'; int s = 1;
    for(auto [x,y]:mp) { if (s) s = 0; else os << ", "; os<<x<<": "<<y; }
    return os<<'}';
}
class Solution {
public:
    int minimumDistance(vector<vector<int>>& points) {
        int n = points.size();
        int ans = 1e9;
        auto getp = [&](int b) {
            vector<pair<int,int>> x, y;
            for (int i=0; i<n; i++) {
                if (i == b) continue;
                x.emplace_back(points[i][0]+points[i][1], i);
                y.emplace_back(points[i][0]-points[i][1], i);
            }
            sort(x.begin(), x.end());
            sort(y.begin(), y.end());
            ans = min(ans, max(x.back().first-x[0].first, y.back().first-y[0].first));
            return vector<int> {x[0].second, x.back().second, y[0].second, y.back().second};
        };
        for (int i:getp(-1)) getp(i);
        return ans;
    }
};