执行操作可获得的最大总奖励 II

题目

执行操作可获得的最大总奖励 II

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给你一个整数数组 rewardValues，长度为 n，代表奖励的值。

最初，你的总奖励 x 为 0，所有下标都是未标记 的。你可以执行以下操作 任意次 ：

• 从区间 [0, n - 1] 中选择一个 未标记 的下标 i。
• 如果 rewardValues[i] 大于 你当前的总奖励 x，则将 rewardValues[i] 加到 x 上（即 x = x + rewardValues[i]），并标记 下标 i。

以整数形式返回执行最优操作能够获得的最大总奖励。

示例 1：

输入： rewardValues = [1,1,3,3]

输出： 4

解释：

依次标记下标 0 和 2，总奖励为 4，这是可获得的最大值。

示例 2：

输入： rewardValues = [1,6,4,3,2]

输出： 11

解释：

依次标记下标 0、2 和 1。总奖励为 11，这是可获得的最大值。

提示：

• 1 <= rewardValues.length <= 5 * 10^4
• 1 <= rewardValues[i] <= 5 * 10^4

题解

方法一:

思路

01背包，bitset优化

这个数据范围根本就没向背包dp上想

设rewardValues中最大值为mx，可知奖励值最大2mx-1 < 10^5

设$f_{i,j}$为前i个数中能否达到奖励值为j。

初始$f_{0,0} = 1$

$f_{i,j} = \max \left \lbrace \begin{array}{ll} f_{i-1,j} \\ f_{i-1,j-reward_i} & reward_i \le j < 2\times reward_i \end{array} \right .$

时间复杂度$O(mx\cdot n)$，给出的数据范围，状态数可以达到5e9，利用滚动数组可以优化空间复杂度，但是时间复杂度仍然无法通过此题。

利用bitset， 时间复杂度可以降低至$O(\frac{mx\cdot n}{w})$ ，其中 w=64（计算机的位数），一个长整型可以存储64个状态，当两个长整型进行二进制或操作时，可以一次性转移64个状态。

代码

class Solution {
public:
    const int NINF = 0xf3f3f3f3;
    int maxTotalReward(vector<int>& rew) {
        sort(rew.begin(), rew.end());
        rew.erase(unique(rew.begin(), rew.end()), rew.end());
        int n = rew.size();
        int mx = rew[n-1]*2;
        bitset<100005> f;
        f[0] = 1;
        for (int i:rew) {
            int s = 100005-i;
            f |= f<<s>>(s-i);
        }
        for (int j=mx; j>=0; j--) if (f[j]) return j;
        return 0;
    }
};