fork()==0世界线变动

给定一张 $n$ 行 $m$ 列的黑白图片（下标从 $1$ 开始），每一个单元格都被涂上了黑色或白色（$1$ 或者 $0$）。

我们对这张图片进行了若干次（可能为零次）操作，每一次操作都是下列两种之一：

• 选择一个单元格，这个单元格不能在图片的边缘（即，单元格所在行不能是 $1$ 或 $n$ 行，所在列不能是 $1$ 或 $m$ 列），并且这个单元格被四个不同颜色的单元格包围（中间 $0$ 四周 $1$，反之亦然），将这个单元格涂成相反的颜色；

• 复制一份当前图片。

两种操作不一定会交替进行。

给出你初始图片与 $k$ 份复制图片，一共 $k+1$ 份图片，这 $k+1$ 份图片是被随机打乱的。

你的任务是恢复操作的顺序。若有多种可能答案，只输出其中一个即可。

所有数据保证答案一定存在。

输入格式

输入第一行包含三个整数 $n$、$m$ 以及 $k$（$3\le n，m\le 30$；$0\le k\le 100$），分别表示图片的行数、列数和复制图片的数量。

接下来 $k+1$ 行，每行一张图片，包括 $k$ 张复制图片和 $1$ 张初始图片，顺序是打乱的。

每张图片由 $n$ 行 $m$ 列组成，每个单元格都为 $0$ 或 $1$。每张图片之前都有一个空行。

输出格式

输出第一行一个整数，表示初始图片是第几张。图片按其输入顺序分别编号 $1$ 至 $k+1$。

输出第二行一个整数 $q$，表示进行了多少次操作。

接下来 $q$ 行，每行对应一次操作，须按正确顺序输出操作。每个操作有题目描述中提到的两种类型：

• $1\ x\ y$ 表示在坐标 $(x,y)$ 执行第一种操作；

• $2\ i$ 表示复制一份当前图片，编号是 $i$。

Alice做到了这样一道题：

> 给定一个序列$a$，有$n$个元素，编号从$0$到$n-1$。求$\max\limits_{0 \leq l \leq r \leq n-1} \sum\limits_{l \leq i \leq r} (r-l+1) \cdot a_i$。

>

> $|a_i| \leq 10^6,n \leq 2000$

Alice觉得这题太水了，很快就给出了解法：

```

function find_answer(n, a)

# Assumes n is an integer between 1 and 2000, inclusive# Assumes a is a list containing n integers: a[0], a[1], ..., a[n-1]res = 0cur = 0k = -1for i = 0 to i = n-1    cur = cur + a[i]    if cur < 0        cur = 0        k = i    res = max(res, (i-k)*cur)return res

```

聪明的你一定发现了，Alice的解法是错误的。例如对于序列$a = [6, -8, 7, -42]$，Alice的程序得出的结果是$7$，而正确答案应该是$3 \cdot (6-8+7) = 15$。

于是你决定HACK掉Alice的解法。

请给出一组数据，使得正确答案-Alice的答案=$k$，你的数据必须满足$n \leq 2000,|a_i| \leq 10^6$。

$k \leq 10^9$

给你两长度都为 $n$ 的小写字符串 $S, T$。

每次操作中你可以任选一个 $L (1\le L\le n)$，同时翻转 $S$ 中的任意一个长度为 $L$ 的子串和 $T$ 中任意一个长度为 $L$ 的子串。

请回答你是否能在若干次操作后使两字符串一样？

输入格式

第一行一个正整数 $q(1\le q\le 10^4)$ 表示询问次数

接下来 $q$ 组数据，每组数据三行，第一行一个正整数 $n(1\le n\le 2\times 10^5)$，第二行一个字符串 $S$，第三行一个字符串 $T$。

保证 $\sum n\le 2\times 10^5$

输出格式

$q$ 行，每行一个字符串 YES 或 NO。

• 给出一个序列 $a$，求出一个长度不超过 $3n$ 的操作序列，使序列 $a$ 中每个元素相等。

• 定义一次操作为：选出 $(i,j,x)$ 三元组，满足 $i,j$ 为序列合法下标，$x$ 为 $10^9$ 以内非负整数，令 $a_i:= a_i-x\cdot i,a_j:=a_j+x\cdot i$。

• 必须保证操作过程中的任意时刻序列 $a$ 中每个元素都非负。

• 输出时先输出操作次数 $k$，然后输出 $k$ 行操作序列。

• 数据组数 $t\le10^4$，序列长度 $n\le10^4$，元素大小 $1\le a_i\le10^5$。

The Hat是一个快速解释/猜测单词的游戏(类似于Alias)。在这道题中，我们所讨论的是一种游戏变体，即玩家坐在桌旁，每个人都单独玩游戏。

有 $n$ 个人聚集在一个有 $m$ 张桌子( $n \ge m \times 2$ )的房间里。他们想玩 $k$ 次 The Hat。$k$ 次游戏将在这些桌子上进行，每个人都会玩 $k$ 次游戏。

这些玩家被分配到这些桌子上。每个玩家可以在不同的桌子上玩，但每局游戏每个玩家只能在一张桌子上玩。

玩家们希望拥有“公平”的游戏顺序。出于这个原因，他们正在寻找一个方案，要求如下:

• 在任意一场游戏中，所有桌子都有 $\lfloor \dfrac{n}{m} \rfloor$ 或 $\lceil \dfrac{n}{m} \rceil$ 个玩家。不同的桌子有不同数量的玩家，这些玩家可以玩不同的游戏。

• 每个玩家都有一个值 $b_i$，它表示第 $i$ 个玩家和 $\lceil \dfrac{n}{m} \rceil$ 个玩家在一张桌子上玩游戏的次数。任意两个玩家的 $b_i$ 值相差不会超过 $1$。换句话说，对于任意两个玩家 $i,j$，满足 $|b_i-b_j| \leq 1$。

我们称有 $\lfloor \dfrac{n}{m} \rfloor$ 个玩家的桌子为“小桌子”，称有 $\lceil \dfrac{n}{m} \rceil$ 个玩家的桌子为“大桌子”。

例如，$n=5,m=2,k=2$，那么根据第一项要求，每张桌子上应该有 $2$ 或 $3$ 名玩家。考虑这些游戏顺序：

• 第一局：玩家 $1,2,3$ 在第一张桌子上玩，玩家 $4,5$ 在第二张桌子上玩。第二局：玩家 $5,1$ 在第一张桌子上玩，玩家 $2,3,4$ 在第二张桌子上玩。这个顺序是不“公平”的，因为 $b_2=2$ (第二名玩家在大桌子上玩了两次)，$b_5=0$ (第五名玩家没有在大桌子上玩过游戏)。

• 第一局：玩家 $1,2,3$ 在第一张桌子上玩，玩家 $4,5$ 在第二张桌子上玩。第二局：玩家 $4,5,2$ 在第一张桌子上玩，玩家 $1,3$ 在第二张桌子。这是一种“公平”的顺序：$b=[1,2,1,1,1]$ (任意两个值的差都不超过 $1$)。

为 $n$ 个玩家找到所有“公平”的顺序，如果他们玩 $k$ 次游戏，在 $m$ 张桌子上。

输入格式

第一行一个整数 $t(1 \leq t \leq 10^4)$，表示数据组数。

接下来 $t$ 行，每行三个整数 $n,m,k(2 \leq n \leq 2 \times 10^5,1 \leq m \leq \lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor,1 \leq k \leq 10^5)$，分别表示玩家个数，桌子个数以及游戏次数。

保证所有测试用例的 $n \times k$ 之和不超过 $2 \times 10^5$。

输出格式

对于每组数据，输出 $k$ 块矩阵，每块矩阵有 $m$ 行。每一块矩阵表示一次游戏，共有 $m$ 张桌子，用一行表示一张桌子，每行先输出这张桌子的玩家数，再输出这些玩家。每组数据

如果有多个“公平”的顺序，那么输出任意一个。保证至少有一个有效的解。

给定一个整数 $n$，请找出一个大于等于 $2$ 的整数 $k$，使得 $n$ 可以表示成 $k$ 个除以 $k$ 的余数互不相同的正整数之和。

数据范围：

• $t$ 组数据，$1\leqslant t\leqslant 10^5$。

• $2\leqslant n\leqslant 10^{18}$。

Translated by Eason_AC

给你一个正整数 $n$ 和三个长度为 $2\times n$ 的 01 字符串 $s_1,s_2,s_3$。你需要构造一个 01 字符串 $S$，使得：

• 字符串 $S$ 的长度不能超过 $3\times n$。

• $s_1,s_2,s_3$ 当中至少有两个字符串是 $S$ 的子序列。

可以证明一定有解，有多种解时输出任意一种即可。$T$ 组数据。

$1\leq T\leq10^4;1\leq n,\sum n\leq10^5;$